中心議題：

• 逆變器模型分析
• PID控制器與重復(fù)控制器設(shè)計

解決方案：

• 串聯(lián)拓撲結(jié)構(gòu)的重復(fù)控制器設(shè)計方案

PID控制作為一種經(jīng)典控制算法，具有結(jié)構(gòu)簡單、易于調(diào)試、動態(tài)響應(yīng)特性快、魯棒性強等特點。但是，對于中、低頻周期信號，該算法仍無法實現(xiàn)無靜差控制；對由非線性負載引起的輸出波形畸變的調(diào)節(jié)能力也較差。本文介紹了一種PID控制器與重復(fù)控制器采用串聯(lián)拓撲結(jié)構(gòu)的方案，將穩(wěn)定的PID+控制對象閉環(huán)系統(tǒng)作為重復(fù)控制器的控制對象，在保證系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差和動態(tài)性能的同時，簡化了重復(fù)控制器的設(shè)計。

逆變器模型

式中，u0為輸出電壓；i 為電感電流； 為負載電阻；C為濾波器電容；￡為電容等效串聯(lián)電阻：



取采樣頻率和開關(guān)頻率相等，把逆變橋看作一個零階保持器，將式（2）離散化可得對象的脈沖傳遞函數(shù)為：


PID控制器設(shè)計

圖2所示為PID控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性圖（Bode圖）。其中，G0為被控對象；G 為PID控制器；G=Gp×G0

按照傳統(tǒng)PID設(shè)計理論，首先設(shè)開環(huán)系數(shù)為K=200，目的是提高系統(tǒng)低頻增益，減小穩(wěn)態(tài)誤差。但是K值過大會降低系統(tǒng)穩(wěn)定性，所以在低頻段處加一零點，與積分環(huán)節(jié)構(gòu)成滯后校正。該滯后環(huán)節(jié)的作用主要有兩條：一是在保證系統(tǒng)暫態(tài)性能基本不變的情況下，提高系統(tǒng)低頻響應(yīng)的增益，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；二是利用其低通濾波特性衰減系統(tǒng)高頻響應(yīng)增益，提高系統(tǒng)的相角裕度，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

在中頻段60 處加一零點，同時在高頻段 處加一極點，由此構(gòu)成超前校正。其作用主要有兩條：一是利用相角超前特性增大系統(tǒng)的相角裕度，提高系統(tǒng)的截止頻率，保證系統(tǒng)快速的動態(tài)響應(yīng)；二是衰減系統(tǒng)高頻響應(yīng)增益，抑制高頻噪聲，提高系統(tǒng)魯棒性。

圖2中G為PID控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，由其頻率特性曲線可以看到，系統(tǒng)低頻開環(huán)增益非常大；截止頻率附近頻段相角裕度增大；高頻段開環(huán)增益很小，抑制了高頻干擾信號。通過滯后一超前相校正方法對PID控制器進行設(shè)計，達到了預(yù)期的目的。經(jīng)過以上分析，PID傳遞函數(shù)為：

取采樣頻率和開關(guān)頻率相等，采用零階保持器將式（4）離散化可得對象的脈沖傳遞函數(shù)：
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重復(fù)控制器設(shè)計

根據(jù)內(nèi)模原理，在閉環(huán)系統(tǒng)中加入外部周期信號動態(tài)模型，則系統(tǒng)可以達到對外部周期信號漸近跟蹤的目的，重復(fù)控制策略正是基于這一原理。圖3為基本重復(fù)控制器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其中重復(fù)控制器離散表達式為：

式中，Ⅳ為每基波周期對輸出電壓的采樣次數(shù)。

由式（6）可知，當頻率為∞=2~k／T（K=0，1，2，……， T為基波周期），由于z=1，所以若在閉環(huán)系統(tǒng)中嵌入重復(fù)控制器，將使開環(huán)增益趨向無窮大。在這種情況下，非諧波輸入信號將被強烈衰減，達到精確跟蹤輸入信號的目的。但是，由于無法精確知道控制對象動態(tài)特性，所以開環(huán)增益趨向無窮大將惡化閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定性，需對基本重復(fù)控制系統(tǒng)改進。

本方案提出的復(fù)合重復(fù)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

Q(z)、Gf(z)為低通濾波補償器，是重復(fù)控制器設(shè)計工作的重點。P(z)的作用是將開環(huán)增益調(diào)節(jié)至很大的有限值，在不影響穩(wěn)態(tài)精度的前提下保證系統(tǒng)穩(wěn)定性；Gc(z)的作用是通過限制重復(fù)控制器的頻帶范圍來提高系統(tǒng)的魯棒性 。由圖可得到系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為：

式中，

根據(jù)小增益定理，上述系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：

① 閉環(huán)系統(tǒng)Gf(z)是穩(wěn)定的。

②

由誤差傳遞函數(shù)式（7）可知，如果：

則式（7）可重列為：

如果通過構(gòu)造Q（z），在頻率∞=2,rrk／T（k=0，1，2，……）處使：

則可以得到E(z)=0。所以，當系統(tǒng)滿足式（10），式（12）時，各階諧波的穩(wěn)態(tài)誤差理論上將趨向零。但是，由于實際的系統(tǒng)為非理想系統(tǒng)，上述設(shè)計要求無法滿足所有頻段的諧波，通常是在一定頻率范圍內(nèi)，根據(jù)穩(wěn)定性條件式（8）、式（9）和控制器條件式（10），式（12）設(shè)計重復(fù)控制器，滿足系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)和動態(tài)的要求。

根據(jù)式（8）、式（10），補償器Gf(z)可以直接設(shè)計為G(z)的逆函數(shù)。但是，如果G(z)是非最小相位系統(tǒng)，雖然式（10）仍成立，外部表現(xiàn)穩(wěn)定，由于有不穩(wěn)定零極點對消情況，這將導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)部不穩(wěn)定。這種情況下，必須采用其他類型的補償器對Gf(z)進行設(shè)計。

本文中提出的方案，控制對象是PID控制器鎮(zhèn)定的穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)，其本身即為最小相位系統(tǒng)，所以可以直接使用逆函數(shù)設(shè)計補償器，即：

式（12）理論上要求p（z）=1；然而式（9）表明，由于高頻段G（z）趨向0，Q（z）在高頻段應(yīng)小于1，所以Q（z）應(yīng)是一個具有零相移的低通濾波器，其表達式為：

實際應(yīng)用中，采用一階低通濾波器完全可以滿足系統(tǒng)要求：

通過以上分析，現(xiàn)在重復(fù)控制器的兩個濾波器可以根據(jù)式（13）、式（15）設(shè)計。[page]
為了進一步理解重復(fù)控制器在系統(tǒng)中的作用，可以比較嵌入重復(fù)控制器和沒有嵌入兩種情況下的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性，如圖5所示。

在高頻段，開環(huán)增益變得非常小，這對抑制高頻噪聲，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性是非常有幫助的。但是，在非諧波頻率處，沒有嵌入重復(fù)控制器的系統(tǒng)開環(huán)增益更大一些，這說明重復(fù)控制器對位于該頻率的信號控制效果較差。因此，PID控制器在系統(tǒng)中除了有提高系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)速度的作用外，還要調(diào)節(jié)非諧波信號，彌補重復(fù)控制器的不足。 

仿真實驗分析

根據(jù)以上分析，筆者對數(shù)字PID控制、重復(fù)控制以及提出的復(fù)合控制進行了仿真實驗。系統(tǒng)參數(shù)如下：

輸入直流電壓為270 V，輸出交流電壓為110 V／50Hz，開關(guān)頻率為10 kHz，輸出濾波電感為1.5 mH，輸出濾波電容為20 F，負載電阻為10 n。

圖6，圖7中，Ur為給定電壓；Uo為輸出電壓。


PID控制對于周期性信號無法做到無差跟蹤，存在周期性穩(wěn)態(tài)誤差。嵌人了重復(fù)控制器的系統(tǒng)，輸出能夠很好地跟蹤輸入信號，系統(tǒng)迅速進入穩(wěn)態(tài)，表現(xiàn)出良好的動態(tài)性能。

圖8，圖9為系統(tǒng)輸出電壓波形的頻譜分析。圖中直觀地反映出重復(fù)控制可以有效地抑制諧波，降低輸出波形的畸變率。


結(jié)語

上述過程較為詳細地分析了重復(fù)控制器的工作原理，結(jié)合PID控制和重復(fù)控制各自的優(yōu)缺點，設(shè)計了具有串聯(lián)拓撲結(jié)構(gòu)的復(fù)合控制器，同時發(fā)揮了重復(fù)控制器對周期信號無差跟蹤能力和PID控制器對突變干擾的快速響應(yīng)能力。仿真實驗結(jié)果證明，重復(fù)控制對削減輸出波形畸變是有效的，基于PID控制和重復(fù)控制的復(fù)合控制策略是一種實用的正弦波逆變器控制方案。