【導(dǎo)讀】在本系列的第一篇文章中,我考察了濾波器相位與濾波器實(shí) 現(xiàn)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的關(guān)系。在第二篇文章中,我考察了低通和高通 響應(yīng)濾波器傳遞函數(shù)的相位偏移。這篇文章將重點(diǎn)討論帶通 響應(yīng)。雖然濾波器主要針對(duì)幅度響應(yīng)而設(shè)計(jì),但在一些應(yīng)用 中,相位響應(yīng)可能非常重要。
出于考察目的,有源濾波器的傳遞函數(shù)實(shí)際上是濾波器傳遞 函數(shù)和放大器傳遞函數(shù)的級(jí)聯(lián)(見圖1)。
圖1. 濾波器作為兩個(gè)傳遞函數(shù)的級(jí)聯(lián)。
帶通傳遞函數(shù)
把低通原型的分子改為
結(jié)果將把濾波器變成一個(gè)帶通 函數(shù)。這會(huì)在傳遞函數(shù)內(nèi)引入一個(gè)零點(diǎn)。分子中的一個(gè)s得到 一個(gè)零點(diǎn),分母中的一個(gè)s得到極點(diǎn)。零點(diǎn)將產(chǎn)生頻率上升響 應(yīng),而極點(diǎn)將產(chǎn)生頻率下降響應(yīng)。
二階帶通濾波器的傳遞函數(shù)變?yōu)椋?/div>
此處的ω為濾波器增益峰值化時(shí)的頻率 (F0 = 2 π ω0)
H0 為電路增益(Q峰值化),定義為:
其中,H為濾波器實(shí)現(xiàn)的增益。
對(duì)帶通響應(yīng)來(lái)說(shuō),Q有特殊意義。它是濾波器的選擇性。定義為:
其中,F(xiàn)L和FH為響應(yīng)比最大值相差–3 dB時(shí)的頻率。
濾波器的帶寬 (BW) 定義為:
可以證明,諧振頻率 (F0)為 FL 和 FH的幾何平均值,這就意味著,F(xiàn)0 在對(duì)數(shù)尺度上將出現(xiàn)在FL 和 FH 二者的中點(diǎn)。
另需注意的是,在對(duì)數(shù)尺度上,帶通響應(yīng)的波裙在 F0 左右始終是對(duì)稱的。
帶通濾波器對(duì)各種Q值的幅度響應(yīng)如圖2所示。在此圖中,中心頻率的增益歸一化為1 (0 dB)。
圖2. 歸一化的帶通濾波器幅度響應(yīng)
雖然本文主要關(guān)注相位響應(yīng),但了解下濾波器幅度響應(yīng)也很有用。
這里需要提醒一下。帶通濾波器有兩種定義方式。窄帶情況為經(jīng)典定義,如上文所示。然而,在某些情況下,如果高、低截止頻率相差很大,則帶通濾波器采用獨(dú)立的高通和低通部分進(jìn)行構(gòu)造。這里所說(shuō)的相差很大是說(shuō)至少相差2個(gè)倍頻程(頻率×4)。這就是寬帶情況。本文中,我們主要關(guān)注窄帶情況。對(duì) 于寬帶情況,可將濾波器視為獨(dú)立的高通和低通部分。
雖然帶通濾波器可用巴特沃茲、貝塞爾或切比雪夫等標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)定義,但它們也通常按照其Q和F0定義。
帶通濾波器的相位響應(yīng)為:
請(qǐng)注意,不存在單極點(diǎn)帶通濾波器。
圖3. 歸一化的帶通濾波器相位響應(yīng)
圖3從中心頻率的1%到中心頻率的100倍對(duì)公式6進(jìn)行估值。中心頻率的相移為0°。中心頻率為1,Q等于0.707。此Q與前一篇文章中使用的Q相同,但該篇文章中我們使用的是α。記 住,α = 1/Q。
觀察后發(fā)現(xiàn),此曲線的形狀基本上與低通(和相應(yīng)的高通) 的曲線形狀相同。但是,本例中相移從中心頻率下方90°開 始,在中心頻率處趨于0°,最后結(jié)束于中心頻率上方–90°。
在圖4中,我們考察了在Q不斷變化時(shí)帶通濾波器的相位響 應(yīng)。觀察傳遞函數(shù)可以發(fā)現(xiàn),相位變化可能發(fā)生在相對(duì)較大 的頻率范圍內(nèi),變化的范圍與電路的Q成反比。同樣,在觀察 后發(fā)現(xiàn),曲線的形狀與低通(和高通)響應(yīng)相同,僅范圍有 差異。
圖4. Q不斷變化時(shí)歸一化的帶通濾波器相位響應(yīng)
放大器傳遞函數(shù)
之前的部分顯示,傳遞函數(shù)基本上就是單極點(diǎn)濾波器的傳遞 函數(shù)。雖然放大器的相移通常被忽視,但它可影響復(fù)合濾波 器的整體傳遞。本文隨機(jī)選擇了AD822 用于濾波器的仿真。 這樣選擇的部分原因是為了最大程度地降低對(duì)濾波器傳遞函 數(shù)的影響。這是因?yàn)?,放大器相移的頻率明顯高于濾波器本 身的轉(zhuǎn)折頻率。AD822的傳遞函數(shù)如圖5所示,其信息直接取 自數(shù)據(jù)手冊(cè)。
圖5. AD822波特圖增益和相位。
示例1:Q = 20 的1 kHz 2 極點(diǎn)帶通濾波器
第一個(gè)示例開始時(shí)是作為帶通設(shè)計(jì)的濾波器。我們隨意選擇 了一個(gè)1 kHz的中心頻率和數(shù)值為20的Q。由于Q在較高的一 側(cè),因此我們將使用雙放大器帶通 (DABP) 配置。同樣,這 是隨意選擇的。
我們使用參考1的設(shè)計(jì)公式。相應(yīng)的電路如圖6所示:
圖6. 1 kHz、Q = 20的DABP帶通濾波器。
本文中我們主要關(guān)注相位,但我認(rèn)為考察下幅度響應(yīng)也很有用。
圖7. 1 kHz、Q = 20的DABP帶通濾波器幅度響應(yīng)。
圖8所示為相位響應(yīng):
圖8. 1 kHz、Q = 20的DABP帶通濾波器相位響應(yīng)。
應(yīng)當(dāng)注意,DABP配置為同相。圖8與圖3一致。
示例2:從1 kHz、3 極點(diǎn)0.5 dB 切比雪夫低通到帶通濾波器的轉(zhuǎn)換
濾波器原理以低通原型為基礎(chǔ),低通原型可以其他形式表示。本例使用的原型是1 kHz、3極點(diǎn)、0.5 dB切比雪夫?yàn)V波器。選擇切比雪夫?yàn)V波器是因?yàn)?,如果響?yīng)不正確,它可以 顯示得更清楚。例如,通帶中的紋波將不會(huì)排成一行。在本例中,巴特沃茲濾波器可能過于寬松。選擇3極點(diǎn)濾波器是為 了能夠轉(zhuǎn)換一個(gè)極點(diǎn)對(duì)和單個(gè)極點(diǎn)。
LP 原型的極點(diǎn)位置(來(lái)自參考1)為:
第一級(jí)為極點(diǎn)對(duì),第二級(jí)為單極點(diǎn)。請(qǐng)注意,用α表示兩個(gè)完 全不同的參數(shù)的做法是不可取的。左側(cè)的α和β為復(fù)平面上的 極點(diǎn)位置。這些是轉(zhuǎn)換算法中使用的值。右側(cè)的α為1/Q,這 正是物理濾波器設(shè)計(jì)等式所希望看到的。
現(xiàn)在,低通原型被轉(zhuǎn)換成了帶通濾波器。參考1中列出的一系 列等式用于轉(zhuǎn)換。原型濾波器的每個(gè)極點(diǎn)都將轉(zhuǎn)換成一個(gè)極 點(diǎn)對(duì)。因此,轉(zhuǎn)換完成時(shí),3極點(diǎn)原型將擁有6個(gè)極點(diǎn)(3個(gè)極 點(diǎn)對(duì))。此外,原點(diǎn)處將有6個(gè)零點(diǎn)。不存在單極點(diǎn)帶通。
轉(zhuǎn)換過程的部分工作是指定可合成的濾波器的3 dB 帶寬。在 這種情況下,該帶寬將被設(shè)為500 Hz。產(chǎn)生的轉(zhuǎn)換結(jié)果如下:
實(shí)際上,先將更低的增益和Q部分放入串中可能很有用,因?yàn)?這可最大程度地提高信號(hào)電平處理能力。前兩級(jí)存在增益要 求的原因在于,相對(duì)于總濾波器中心頻率,它們的中心頻率 將會(huì)衰減(也就是說(shuō),它們將在其他部分的波裙上)。
由于結(jié)果得到的Q適中(小于20),因而將選用多級(jí)反饋拓?fù)?結(jié)構(gòu)。我們使用參考1中多路反饋帶通濾波器的設(shè)計(jì)方程設(shè)計(jì) 濾波器。圖9顯示了濾波器本身的原理圖。
圖9. 1 kHz、6極點(diǎn)、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器。
圖10中可以看到完整濾波器的相移。曲線圖單獨(dú)顯示了第一 部分的相移(第1部分)、前兩個(gè)部分的組合相移(第2部 分),以及完整濾波器的相移(第3部分)。這些曲線顯示了 "實(shí)際"濾波器部分的相移,其中包括放大器的相移和濾波器 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的反相。
圖10中有幾點(diǎn)細(xì)節(jié)需要注意。第一,相位響應(yīng)具有累積性。第 一部分顯示了180°的相位變化(濾波函數(shù)的相移,忽視了濾波 器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的相移)。第二部分顯示了因具有兩部分而產(chǎn)生的 360°相位變化,每個(gè)部分180°。記住,360° = 0°。第三部分顯 示了540°的相移,每個(gè)部分180°。還應(yīng)注意,在高于10 kHz的 頻率處,我們開始看到相位因放大器響應(yīng)而輕微滾降。還可以 看出,滾降也具有累積性,會(huì)隨著每個(gè)部分而增大。
圖10. 1 kHz、6極點(diǎn)、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器的相位響應(yīng)。
在圖11中我們可以看到完整濾波器的幅度響應(yīng)。
圖11. 1 kHz、6極點(diǎn)、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器的幅度響應(yīng)。
結(jié)論
本文討論的是帶通濾波器的相移。在前面幾篇文章中,我們 考察了與濾波器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相關(guān)的相移以及低通和高通拓?fù)浣Y(jié) 構(gòu)的相移。在后續(xù)文章中,我們將考察陷波濾波器和全通濾 波器。在最后一期,我們將總結(jié)并考察相移如何影響濾波器 的瞬態(tài)響應(yīng),同時(shí)還會(huì)考察群延遲、脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng), 以及它們對(duì)信號(hào)的意義。
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