一、前言

FPGA以擅長高速并行數(shù)據(jù)處理而聞名，從有線/無線通信到圖像處理中各種DSP算法，再到現(xiàn)今火爆的AI應(yīng)用，都離不開卷積、濾波、變換等基本的數(shù)學(xué)運算。但由于FPGA的硬件結(jié)構(gòu)和開發(fā)特性使得其對很多算法不友好，之前本人零散地總結(jié)和轉(zhuǎn)載了些基本的數(shù)學(xué)運算在FPGA中的實現(xiàn)方式，今天做一個系統(tǒng)的總結(jié)歸納。

二、FPGA中的加減乘除

1.硬件資源

Xilinx 7系列的FPGA中有DSP Slice ，叫做“DSP48E1”這一專用硬件資源，這是一個功能強大的計算單元，單就用于基本運算的部分有加減單元和乘法器。詳見參考文獻1.

因此可以直接用HDL語言中的加、減、乘符號實現(xiàn)變量與常量間運算操作以及變量與變量間操作。而四則運算中的除法沒有基本的邏輯計算單元可以對應(yīng)，因此計算除法需要調(diào)用除法器IP核。

2.確認數(shù)據(jù)的表示范圍

有符號數(shù)：（補碼）-2^(N-1) ~ 2^(N-1)-1 如N = 8，則表示范圍是：-128 ~ 127.

無符號數(shù)：0~2^N-1 如N = 8，則表示范圍是：0~255.

定點數(shù)：2Q13 范圍是：-4~4-2^(-13) 精度是：2^(-13)

3.結(jié)果有效位寬

首先討論結(jié)果位寬問題。在FPGA中往往采用定點運算替代浮點運算來降低硬件資源占用率和計算延遲，其中的精髓就是精度與資源的權(quán)衡。若按照保留計算結(jié)果的全部精度，N bit數(shù)與Mbit數(shù)相加結(jié)果需要N+1bit（N>M）。N bit數(shù)與M bit數(shù)相乘之積需要N+M bit。而減法可以轉(zhuǎn)化為加法，除法則轉(zhuǎn)換為乘法和加減法的組合。如果操作數(shù)是定點小數(shù)，則在滿足以上準(zhǔn)則的前提下，A與B相加（A小數(shù)點位數(shù)>B小數(shù)點位數(shù)），結(jié)果小數(shù)點位數(shù)與A相同；A與B相乘（小數(shù)點位數(shù)分別為p和q），結(jié)果小數(shù)點位數(shù)是p+q。

4.定點運算步驟

然而（話鋒一轉(zhuǎn)），在大多數(shù)場合下，不需要以上這么多位來保留計算結(jié)果，因為我們在進行數(shù)學(xué)運算時，已經(jīng)知道輸入數(shù)據(jù)的大致范圍，一個數(shù)除以1000和除以1結(jié)果數(shù)據(jù)所需最小位寬能一樣么？加減運算的操作步驟是先對齊小數(shù)點位數(shù)，后加減。而乘法是先計算后取小數(shù)點。這實際上與十進制運算一致，我們看看具體的計算步驟：

整數(shù)之間加減以及乘法的統(tǒng)一步驟：預(yù)估結(jié)果位寬N --> 按照結(jié)果位寬擴展操作數(shù)符號位以防止溢出 --> 運算取低N位。

定點小數(shù)加減運算步驟：預(yù)估結(jié)果位寬N --> 得到結(jié)果小數(shù)點后位數(shù) --> 對齊操作數(shù)整數(shù)位和小數(shù)位，確定擴展位寬M（M≥N） --> 加減運算取低M位。

定點小數(shù)乘法運算步驟：預(yù)估結(jié)果位寬N --> 得到結(jié)果小數(shù)點后位數(shù) --> 擴展操作數(shù)位寬 --> 相乘取低N位

5. 變量與常量運算化簡

以上討論的均是兩變量之間的運算規(guī)則，當(dāng)然結(jié)果位寬及格式準(zhǔn)則是適用的。變量與常量的運算的優(yōu)勢在于，可以將乘除法轉(zhuǎn)換成加減以及移位運算實現(xiàn)，從而降低計算復(fù)雜度和延遲。當(dāng)常數(shù)項C為2的整數(shù)次冪（C = 2^p），則乘C等于變量左移p位，除以C等于變量右移p位。幾個在書中看到的幾個簡單示例：A*16 = A <<4　　A*20 = A<<4 + A<<2.　　A除以2 = A >>1　　A除以3 = A*(0.25+0.0625+0.0156) = A>>2+A>>4+A>>6　　A除以5 = A*(0.125+0.0625+0.0156) = A>>3 + A>>4 + A>>6.其中乘法完全等價對應(yīng)的移位相加操作，而除法的移位代替會損失精度。

三、如何計算特殊函數(shù)

FPGA內(nèi)部的DSP Slice可以直接進行最基本的加法和乘法運算，但是對于其他比如對數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)、開根號等特殊函數(shù)就無能為力了。這時需要借助算法對這些特殊函數(shù)進行變換和簡化。FPGA實現(xiàn)復(fù)雜函數(shù)的常用手段一個是級數(shù)展開，再一個就是CORDIC算法。關(guān)于CORDIC的理論知識和具體內(nèi)容詳見參考文獻2，這里主要闡述CORDIC的IP核調(diào)用以及應(yīng)用示例。CORDIC算法就是通過一定的手段，將很多復(fù)雜的特殊函數(shù)變?yōu)橄嗉右莆贿\算，這一點對于硬件芯片實現(xiàn)來說非常友好。CORDIC分為旋轉(zhuǎn)模式和矢量模式，配合圓周坐標(biāo)、線性坐標(biāo)和雙曲線坐標(biāo)會有六種組合，具體見下表：

從表中發(fā)現(xiàn)，基本的乘

除法、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)、開根號都能夠直接求得，那其他函數(shù)怎么辦？

常見的函數(shù)計算需求基本都能滿足，雖上述變換式對自變量定義域有限制，但同樣可以分析輸入數(shù)據(jù)的取值范圍并利用簡單的數(shù)學(xué)變換得到想要的結(jié)果。Xilinx同時提供了浮點IP核以及CORDIC IP核，前者調(diào)用簡單但占用資源大，延遲高，因此利用CORDIC算法計算函數(shù)是個較好的選擇。

四、CORDIC計算e^x Demo

1. 算法仿真分析

要計算e^x數(shù)值需要讓CORDIC工作在雙曲坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)模式下，通過e^x = sinhx+coshx關(guān)系式間接求得。首先看下sinh和cosh函數(shù)的曲線，有個直觀認識。

我們用MATLAB毫不費力地驗證一下公式正確性：

在設(shè)計后也同樣要借助MATLAB進行仿真驗證。

2. CORDIC IP核

現(xiàn)在通過查看user guide得知CORDIC IP核的接口及主要特性。

接口包括輸入笛卡爾數(shù)據(jù)輸入通道、相位輸入通道、全局信號以及數(shù)據(jù)輸出通道。該IP核有兩種結(jié)構(gòu)：串行和并行，可根據(jù)數(shù)據(jù)吞吐量需求選擇，并行結(jié)構(gòu)可以每個時鐘輸出一個計算結(jié)果。如果計算sinh和cosh，要向phase通道輸入相位信息，X_OUT是cosh(phase),Y_OUT是sinh(phase).輸入phase必須滿足數(shù)據(jù)范圍，否則出現(xiàn)不可預(yù)計結(jié)果。輸出幀結(jié)構(gòu)及數(shù)據(jù)范圍如下：

　其中輸入數(shù)據(jù)格式為2QN，輸出則是1QN。由于均是有符號數(shù)，也就是輸入整數(shù)部分3bit，輸出整數(shù)部分2bit。接下來對IP核進行配置，重點是第一頁，此處將其配置為計算sinh和cosh模式，采用并行優(yōu)化的流水線結(jié)構(gòu)。相位以角度為單位，輸入輸出位寬設(shè)置成16bit。

3.HDL代碼設(shè)計及仿真驗證

設(shè)計代碼：
`timescale 1ns / 1ps

module cordic_ex#(parameter DIN_W = 16,
DOUT_W = 16)
(
input clk,
input [DIN_W-1:0] din,//2Q13
input din_vld,

output reg [DOUT_W+1-1:0] dout = 0,//2Q14
output reg dout_vld = 0
);

wire [DOUT_W*2-1 : 0] m_axis_dout_tdata;
wire m_axis_dout_tvalid;
wire signed [DOUT_W-1:0] sinh,cosh;

// ex = sinhx + coshx <1Q14+1Q14 = 2Q14>
always @(posedge clk)begin
dout <= sinh + cosh;
end

assign sinh = m_axis_dout_tdata[DOUT_W*2-1 -:DOUT_W];
assign cosh = m_axis_dout_tdata[DOUT_W-1 -:DOUT_W];

always @(posedge clk)begin
if(m_axis_dout_tvalid)begin
dout_vld <= 1'b1;
end
else
dout_vld <= 0;
end

cordic_0 cordic_cosh_sinh (
.aclk(clk), // input wire aclk
.s_axis_phase_tvalid(din_vld), // input wire s_axis_phase_tvalid
.s_axis_phase_tdata(din), // input wire [15 : 0] s_axis_phase_tdata
.m_axis_dout_tvalid(m_axis_dout_tvalid), // output wire m_axis_dout_tvalid
.m_axis_dout_tdata(m_axis_dout_tdata) // output wire [31 : 0] m_axis_dout_tdata
);

endmodule

cordic_ex

用MATLAB產(chǎn)生兩組數(shù)據(jù)，并將角度值定點化后作為設(shè)計模塊數(shù)據(jù)激勵：

testbench：
`timescale 1ns / 1ps

module cordic_ex_tb();

parameter CYC = 20;

reg clk;
reg [16-1:0] din;
reg din_vld;

wire signed [17-1:0] dout;
wire dout_vld;

cordic_ex#(.DIN_W(16),
.DOUT_W(16))
uut(
.clk (clk) ,
.din (din) ,//2Q13
.din_vld (din_vld) ,
.dout (dout) ,//2Q14
.dout_vld (dout_vld)
);

initial begin
clk = 1;
forever #(CYC/2) clk = ~clk;
end

initial begin
#1;
din = 0;
din_vld = 0;
#(CYC*10);

din_vld = 1;
din = 16'b0001010000011011;//pi * 1/5
#(CYC*1);
din = 16'b1110011011011110;//-pi * 1/4
#5;
$stop;
end

endmodule

cordic_ex_tb

仿真結(jié)果：

仿真波形表明，計算結(jié)果與MATLAB浮點運算相近，滿足一般計算需求。若想提高精度，可以增加CORDIC輸出數(shù)據(jù)位寬。

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